Comando build 

O comando build constrói uma solução explícita para as funções indeterminadas que obedecem as EDO's dentro do operador &where. O argumento do comando build deve ser uma solução fornecido pelo comando pdsolve. Por exemplo, considere a EDP de Laplace com um termo não homogêneo. 

>

(1.4.1.1)

 

A solução é dada em termos de duas funções indeterminadas. 

>

(1.4.1.2)

 

Para construir uma solução explícita: 

>

(1.4.1.3)

 

Comando dchange 

O comando dchange serve para fazer mudança de variáveis em EDP (e em outras expressões algébricas). A título de exemplo vamos resolver a EDP 

>

(1.4.2.1)

 

sem usar o comando pdsolve. Vamos considerar a seguinte tranformação de variáveis 

>

(1.4.2.2)

 

e a partir dela determinar o valor de que transforma a EDP numa ODE. Uma vez que essa tranformação possui parâmetro , vamos adicionar o terceiro argumento no comando   dchange . 

>

(1.4.2.3)

 

Vamos fazer a seguinte substituição para eliminar o parâmetro que infelizmente foi introduzido na função . 

>

(1.4.2.4)

 

Vamos determinar de forma que o coeficiente do termo seja zero. 

>

>

 

	(1.4.2.5)

 

Vejamos o formato da EDP agora. 

>

(1.4.2.6)

 

Ela pode ser resolvida como o comando dsolve . (em vez de pdsolve). 

>

(1.4.2.7)

 

O último passo é recuperar as variáveis originais. 

>

(1.4.2.8)

 

Podemos confirmar a solução. 

>

(1.4.2.9)

 

Comando PDEplot 

O comando PDEplot faz o gráfico da solução de uma EDP de primeira ordem uma vez dadas as condições iniciais. A EDP não pode ter parâmetro livres. Como exemplo, considere a seguinte EDP. 

>

(1.4.3.1)

 

cuja solução fornece o gráfico usado como logo da versão 4 do Maple. 

>

 

 

Exemplo 1 - Transmissão de calor 

Ref. 1: Wikipedia - Equação de calor 

Ref. 2: A. O. de Morais, Transferência de calor no escoamento laminar não Newtoniano com difusividade térmica efetiva em tubos. Monografia, Universidade de São Paulo, 2012. 

 

A equação geral da transmissão de calor é 

 

onde  

temperatura do fluido 

vetor velocidade do fluido 

densidade do fluido 

calor específico do fluido 

condutividade térmica do fluido 

 geração volumétrica de calor 

 

Problema Considere uma barra de comprimento 85 cm e largura 15 cm inicialmente a 37 graus centígrados isolada do meio ambiente exceto pelas suas extremidades, que são mantidas a 0 graus centígrados. Suponha que e para esta barra. Encontre a temperatura da barra. 

Solução: A equação que rege a evolução da temperatura em função da variável expacial e do tempo é 

 

pois e . Vamos supor que a barra vai de até . 

>

>

>

>

>

(1.5.1)

 

A solução geral pode ser encontrada pelo comando pdsolve : 

>

(1.6.1.2)

 

onde e são funções genéricas. Um pulso senoidal se movendo para a direita e gerado da seguinte maneira:  

>

(1.6.1.3)

 

>

(1.6.1.4)

 

>

 

Note que a animação dura 10 unidades de tempo (por exemplo: segundos) e o pulso foi do ponto até em unidades de distância (por exemplo: centímetros). Portanto, a velocidade de onda é 1 m/s. Como exercício, mude o valor de e verifique que a velocidade do pulso muda (o intervalo para também deve ser mudado). 

A superposição de dois pulsos senoidais se movendo em direção oposta e gerado da seguinte maneira: 

>

(1.6.1.5)

 

>

 

Se a corda estiver presa nas extremidades (em e ), a equação diferencial parcial pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis e a solução geral pode ser expressa por uma série de Fourier. A corda de comprimento a presa nas extremidades é caracterizada pelas seguintes condições de contorno: e para gerérico.Vamos resolver a equação de onda usando o método de separação de variáveis. Vamos supor que é uma função separável nas variáveis , isto é, :  

>

>

>

(1.6.1.6)

 

Cada termo da expressão acima deve ser constante, pois cada um é função de uma variável independente. Vamos selecionar o termo dependente de , e igualar a uma constante : 

>

(1.6.1.7)

 

A equação diferencial acima pode ter soluções oscilatórias, lineares ou exponenciais dependendo se a constante for negativa, zero ou positiva, respectivamente (exercício: resolva a EDO acima para . Para que as condições de contorno sejam satisfeitas, isto é, , temos que impor que a constante seja negativa:  

>

(1.6.1.8)

 

>

>

(1.6.1.9)

 

Para a condição de contorno ser satisfeita, vamos impor a condição de contorno .   

>

(1.6.1.10)

 

>

(1.6.1.11)

 

Note que tem que ser um número inteiro. 

>

(1.6.1.12)

 

onde n é um inteiro positivo (no lugar de ).  

Vamos eliminar a constante arbitrária por enquanto: 

>

(1.6.1.13)

 

A equação diferencial para a função dependente da variável t é obtida da seguinte forma: 

>

(1.6.1.14)

 

cuja solução geral é: 

>

>

(1.6.1.15)

 

Vamos colocar esta solução numa forma mais conveniente: 

>

(1.6.1.16)

 

onde A e B são constantes que podem depender dos autovalores m e n. Vamos definir a frequência do modo normal <n>: 

>

(1.6.1.17)

 

e definir os modos normais como uma função de m e n. Existem duas possibilidades que são: 

>

(1.6.1.18)

 

>

(1.6.1.19)

 

Uma vez que a equação diferencial do movimento da corda é linear e homogênea, a solução geral é uma superposição de todas as soluções linearmente independentes possíveis. Assim, tomaremos o somatório sobre todos os valores de m e n: 

>

(1.6.1.20)

 

As constantes arbitrárias e são determinadas a partir das condições iniciais. Geralmente são elas a posição inicial e a velocidade inicial .  

Animação dos Modos Normais 

Os modos normais podem ser animados como a função animate. Vamos construir a função animate_mode, que anima o modo especificado pelos seus argumentos. Por exemplo, animate_mode(2) faz a animação do modo n=2.   

>

Para fazer a animação de um determinado modo, temos que dar valores numéricos para os parâmetros a, b e c. Vamos supor que o comprimento é a=1, a largura é b=1 e a constante c=1 em um certo sistema de unidades: 

>

>

(1.6.2.1)

 

Vamos fazer a animação do modo :  

>

 

Vejamos a animação do modo : 

>

 

Os pontos que ficam imóveis são chamados pontos nodais. 

Animação com Condições Iniciais 

Encontramos anteriormente a função que descreve o movimento vertical da corda de comprimento presa nas extremidades. Esta solução é uma série de Fourier. Uma vez que os modos normais com pequenos valores de dominam sobre os que tem grandes valores, podemos truncar o somatório. O ponto de truncagem satisfatório depende das condições iniciais do problema. Vamos converter o somatório infinito num somatório finito com termos e definir a função da seguinte forma: 

>

(1.6.3.1)

 

>

(1.6.3.2)

 

As constantes e , que aparecem na função , podem ser obtidas a partir das condições iniciais posição inicial e velocidade inicial usando as seguintes fórmulas:  e  (veja referências sobre inversão de séries de Fourier, por exemplo, E. Butkov, Física Matemática, cap. 4). 

>

(1.6.3.3)

 

>

(1.6.3.4)

 

Antes  de  fazer  a  animação com condições iniciais, vamos calcular as contantes e para e inteiros positivos genéricos. É mais eficiente calcular estas constantes para e genéricos e depois substituir valores numéricos, do que calcular diretamente para diversos valores numéricos de e . Vamos usar as seguintes condições iniciais: 

>

(1.6.3.5)

 

>

(1.6.3.6)

 

>

(1.6.3.7)

 

Para calcular e para inteiro positivo genérico, vamos usar a função assume. Desta forma, o comando simplify das funções e poderá fazer as simplificações pertinentes: 

>

>

(1.6.3.8)

 

>

(1.6.3.9)

 

Vamos fazer o gráfico da posição inicial da corda desta vez descrita pela função , pois a partir dela podemos achar um bom valor para a constante , por comparação com o gráfico obtido diretamente de . Observe que para a série de Fourier truncada aproxima razoavelmente bem a posição inicial da corda: 

>

 

>

(1.7.1.1.2)

 

Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Vamos supor que é uma função separável nas variáveis , isto é, :  

>

(1.7.1.1.3)

 

Cada termo da expressão acima deve ser constante, pois cada um é função de uma variável independente. Vamos selecionar o termo dependente de , e igualar a uma constante : 

>

(1.7.1.1.4)

 

A equação diferencial acima pode ter soluções oscilatórias, lineares ou exponenciais dependendo se a constante  for negativa, zero ou positiva, respectivamente. Para que as condições de contorno sejam satisfeitas, isto é, , temos que impor que a constante seja negativa e que ela assuma valores discretos dados por:   

>

(1.7.1.1.5)

 

onde m é um inteiro positivo. A solução geral da equação da parte  é: 

>

>

(1.7.1.1.6)

 

Vamos eliminar a constante arbitrária por enquanto: 

>

(1.7.1.1.7)

 

Vamos repetir o mesmo procedimento para o termo dependente de y: 

>

>

>

>

 

	(1.7.1.1.8)

 

>

(1.7.1.1.9)

 

A equação diferencial para a função dependente da variável t é obtida da seguinte forma: 

>

(1.7.1.1.10)

 

cuja solução geral é: 

>

>

(1.7.1.1.11)

 

Vamos colocar esta solução numa forma mais conveniente: 

>

(1.7.1.1.12)

 

onde A e B são constantes que podem depender dos autovalores m e n. Vamos definir a frequência do modo normal <>: 

>

(1.7.1.1.13)

 

e definir os modos normais como uma função de m e n. Existem duas possibilidades que são: 

>

(1.7.1.1.14)

 

>

(1.7.1.1.15)

 

Uma vez que a equação diferencial do movimento da membrana é linear e homogênea, a solução geral é uma superposição de todas as soluções linearmente independentes possíveis. Assim, tomaremos o somatório sobre todos os valores de m e n: 

>

(1.7.1.1.16)

 

As constantes arbitrárias e são determinadas a partir das condições iniciais. Geralmente são elas a posição inicial e a velocidade inicial .  

Animação dos Modos Normais 

Os modos normais podem ser animados como a função animate3d. Vamos construir a função animate_mode, que anima o modo especificado pelos seus argumentos. Por exemplo, animate_mode(1,2) faz a animação do modo m=1 e n=2.   

>

Para fazer a animação de um determinado modo, temos que dar valores numéricos para os parâmetros a, b e c. Vamos supor que o comprimento é a=1, a largura é b=1 e a constante c=1 em um certo sistema de unidades: 

>

>

 

 

	(1.7.1.2.1)

 

Vamos fazer a animação do modo <1,2>  

>

 

As linhas nodais são curvas cujos pontos se mantêm em repouso durante todo instante.  Por exemplo, vejamos a animação do modo <2,5>: 

>

 

Podemos ver que há 4 retas nodais paralelas ao eixo y e 1 reta nodal paralela ao eixo x. Esta característica pode ser generalizada para qualquer modo de vibração. O modo <m,n> tem m-1 retas nodais paralelas ao eixo y e n-1 retas nodais paralelas ao eixo x. Em geral, as linhas nodais nem sempre são retas. Abaixo, mostraremos um exemplo de uma linha nodal fechada aproximadamente circular em uma membrana quadrada. Isso ocorre quando existe degenerescência. 

Análise da Degenerescência 

Num modo normal de vibração, todos os pontos da membrana vibram com a mesma frequência; cada modo normal tem um frequência característica . Se a membrana for quadrada, dois modos normais diferentes podem oscilar com a mesma frequência. Por exemplo, para a membrana quadrada de largura de uma unidade, os modos <1,2> e <2,1> têm a mesma frequência: 

>

>

>

 

	(1.7.1.3.1)

 

Neste caso, qualquer combinação linear destes modos de vibração também vai oscilar na mesma frequência. Este fenômeno é chamado de degenerescência. Isto ocorre sempre que um autovalor (a frequência) é degenerado, possuindo mais de um autovetor associado (o modo normal). A função a seguir faz a animação da combinação linear .  

Vamos considerar uma membrana quadrada: 

>

>

(1.7.1.3.2)

 

Vamos fazer a animação da combinação linear , onde podemos verificar que a linha nodal é uma curva fechada: 

>

 

A combinação linear tem como linha nodal uma curva fechada e uma reta (uma das diagonais da membrana): 

>

 

A linha nodal é descrita pela equação . Esta equação depende das variáveis x e y. O fator temporal é comum aos dois termos e portanto é cancelado. Através do comando implicitplot, podemos fazer o gráfico da curva y contra  x  mesmo  sem  resolver  explicitamente  a  equação.  A função nodal_line a seguir faz o desenho da linha nodal. Os argumentos desta função são iguais ao do função .  

A linha nodal dos dois últimos exemplos que vimos acima são: 

>

>

 

e 

>

 

Animação com Condições Iniciais 

Encontramos anteriormente a função que descreve o movimento vertical da membrana retangular de largura e comprimento presa nas bordas. Esta solução é uma série de Fourier dupla. Uma vez que os modos normais com pequenos valores de e dominam sobre os que tem grandes valores, podemos truncar o somatório duplo. O ponto de truncagem satisfatório depende das condições iniciais do problema. Vamos converter o somatório infinito num somatório finito com termos e definir a função da seguinte forma: 

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

(1.7.1.4.1)

 

>

(1.7.1.4.2)

 

As constantes e , que aparecem na função , podem ser obtidas a partir das condições iniciais posição inicial e velocidade inicial usando as seguintes fórmulas:  e  (veja referências sobre inversão de séries de Fourier). 

>

(1.7.1.4.3)

 

>

(1.7.1.4.4)

 

Antes  de  fazer  a  animação com condições iniciais, vamos calcular as contantes e para e inteiros positivos genéricos. É mais eficiente calcular estas constantes para e genéricos e depois substituir valores numéricos, do que calcular diretamente para diversos valores numéricos de e . Vamos usar as seguintes condições iniciais: 

>

(1.7.1.4.5)

 

>

(1.7.1.4.6)

 

>

(1.7.1.4.7)

 

O gráfico da posição inicial é: 

>

 

Para calcular e para e inteiros positivos genéricos, vamos usar a função assume. Desta forma, o comando simplify das funções e poderá fazer as simplificações pertinentes: 

>

>

(1.7.1.4.8)

 

>

(1.7.1.4.9)

 

Vamos fazer o gráfico da posição inicial da membrana desta vez descrita pela função , pois a partir dela podemos achar um bom valor para a constante , por comparação com o gráfico obtido diretamente de . Observe que para a série de Fourier truncada aproxima razoavelmente bem a posição inicial da membrana: 

>

 

Assim, o valor é satisfatório para esse tipo de condições iniciais. Note exite uma ondulação na parte superior do gráfico. Isto é consquência do truncamento da série de Fourier dupla. Esta ondulação só desparece a rigor, no limite quando . Outro detalhe que podemos observar, é que a série truncada obedece as condicões de contorno, enquanto que a condição inicial não obedece. Esta discrepância também só desaparece quando . 

A função a seguir faz a animação do movimento da membrana descrita pela função . O primeiro argumento é o tempo de animação e o segundo é o número que representa a truncagem do somatório duplo: 

>

Para as condições iniciais descritas acima, a animação do movimento da membrana com duas oscilações dominantes e é: 

>

>

 

Vamos fazer a animação no caso em que a membrana está parada na posição horizontal, e sofre um impulso de cima para baixo em seu centro: 

>

(1.7.1.4.10)

 

>

(1.7.1.4.11)

 

>

(1.7.1.4.12)

 

Como antes, vamos calcular e com e inteiros positivos genéricos: 

>

(1.7.1.4.13)

 

>

(1.7.1.4.14)

 

Vamos fazer a animação durante um tempo 5 e truncar o somatório em (900 termos) com 20 frames: 

>

 

 

Exercícios 

 

1) Verifique que normalmode, normalmode1 e satisfazem a equação de onda. 

 

2) Use o comando pdsolve para encontrar a solução O comando dsolve não deve ser usado em nenhum momento.  

 

3)  a) Resolva a equação de onda para uma membrana obedecendo às seguintes condições de contorno: Duas extremidades opostas da membrana estão presas, e as outras duas estão livres. [Sug.: Quando a extremidade está livre, a derivada de deve se anular.] 

b) Obtenha os modos normais e a solução geral obedecendo às condições iniciais genéricas.  

c) Faça a animação dos modos normais. 

d) Faça uma análise da degenerescência. 

e) Faça a animação com diversas condições iniciais. 

Membrana Circular  

Resolução da Equação de Onda  

A membrana circular de raio a presa na borda é caracterizada pela seguinte condição de contorno em coordenadas cilíndricas: , para . Vamos atribuir a equação diferencial deste problema à variável wave_eq: 

>

>

>

(1.7.2.1.1)

 

Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Substituindo na variável obtemos: 

>

(1.7.2.1.2)

 

Vamos fazer agora a separação de variáveis:  

>

(1.7.2.1.3)

 

>

(1.7.2.1.4)

 

>

(1.7.2.1.5)

 

A condição de contorno impõe que a constante seja negativa pois quando ela é positiva ou nula, a equação Eqr não adimite soluções que se anulem para . Além disso, a variável é periódica. Assim, vamos assumir que:  

>

>

 

	(1.7.2.1.6)

 

A solução geral para Eqr a menos de uma constante multiplicativa é: 

>

(1.7.2.1.7)

 

>

(1.7.2.1.8)

 

A solução geral para é: 

>

(1.7.2.1.9)

 

>

(1.7.2.1.10)

 

A solução geral para é: 

>

(1.7.2.1.11)

 

>

(1.7.2.1.12)

 

Cálculo dos Modos Normais 

Vamos agora analisar os modos normais da membrana circular. Os modos com não dependem da variável , isto é, eles são axialmente simétricos. Os modos com dependem da variável e em função disto veremos exemplos dos dois casos.  A frequência do modo normal é: 

>

(1.7.2.2.1)

 

Para que as condições de contorno sejam satisfeitas, temos que impor que ou seja . Assim, deve assumir valores que anulem a função de Bessel de ordem : 

>

(1.7.2.2.2)

 

A função calcula o n-ésimo zero da função de Bessel de ordem . Vamos agora definir os modos normais em funçao de e . Se existe uma degenerescência de quarta ordem, isto é, podemos definir os seguintes modos normais: 

>

>

>

>

 

 

 

	(1.7.2.2.3)

 

Os modos normais axialmente simétricos são os modos com . Neste caso, a degenerescência é dupla, já que os modos e acima são nulos. 

   A solução geral é a superposição de todos os modos normais. A variável pode assumir qualquer valor inteiro de 0 a e de 1 a . Porém, para as condicões iniciais que estamos tratando aqui, a série de Fourier converge rapidamente, de forma que podemos truncar o somatório. As variáveis e especificam o truncamento em e , respectivamente.  Vamos separar os termos com pois estes coeficientes seguem uma regra diferente dos coeficientes com diferente de zero: 

>

(1.7.2.2.4)

 

Os coeficientes , , e são constantes que dependem dos parâmetros e . Quando as condições iniciais são axialmente simétricas, não depende de . Neste caso, temos que tomar , o que é equivalente a tomar . A expressão de se reduz a: 

>

(1.7.2.2.5)

 

Animação dos Modos Normais 

Vamos construir uma função para a membrana circular da mesma forma que foi construído para a membrana retangular: 

>

Para fazer a animação de um determinado modo normal, temos que dar valores numéricos para os parâmetros e . Vamos supor que o raio é e em um certo sistema de unidades: 

>

 

>

(1.7.2.3.1)

 

Animação com Condições Iniciais 

>

>

>

>

As constantes , , e que aparecem na função definida anteriormente, podem ser obtidas a partir das expressões teóricas derivadas a partir da inversão da série de Fourier: 

>

>

>

>

>

 

 

 

	(1.7.2.4.1)

 

A função a seguir faz a animação do movimento da membrana descrita pela função . O primeiro argumento do procedimento representa o tempo de oscilação, o seegundo argumento é o número que representa a truncagem do somatório na variável , o terceiro argumento é o número que representa a truncagem do somatório na variável e o quarto é o número de frames na animação. 

Vamos ver dois exemplos com condições iniciais axialmente simétricas. O primeiro com velocidade inicial nula e o segundo com delocamento inicial nulo. Vamos tomar as seguintes condições iniciais: 

>

>

>

 

	(1.7.2.4.2)

 

Ou seja, a membrana está repouso na posição .  Tomaremos o raio da membrana igual a 5: 

>

(1.7.2.4.3)

 

Os coeficientes  , , e são:  

>

>

>

>

>

>

>

 

 

 

 

 

	(1.7.2.4.4)

 

Vamos fazer a animação com duas oscilações dominantes e com . Uma vez que a condição inicial é axialmente simétrica, vamos tomar : 

>

 

Podemos ver pela animação que a onda reflete na borda da membrana e se superpõe no centro, produzindo um propagação típica de ondas, como deveria ser. A reflexão na borda inverte o deslocamento da onda, já que a extremidade é fixa. 

Vamos fazer a animação do movimento da membrana no caso em que ela está na posição horizontal e sofre um impulso de cima para baixo na região central. As condições iniciais são: 

>

>

 

	(1.7.2.4.5)

 

A animação é obtida da através do comando: 

>