EDO's de ordem 1 

Uma EDO de primeira ordem é dita separable se ela tem a forma 

A solução geral é 

A  EDO 

>

(1.2.1.1)

 

é separável. Podemos confirmar com o comando odeadvisor .  

>

(1.2.1.2)

 

A solução é  

>

(1.2.1.3)

 

A EDO de Bernoulli é da forma 

onde e são funções de e é uma constante. Por exemplo, a EDO 

>

(1.2.1.4)

 

é do tipo Bernoulli  

>

(1.2.1.5)

 

e tem a seguinte solução geral 

>

(1.2.1.6)

 

EDO's de ordem 2 ou maior 

Uma EDO é linear se ela é da forma, 

onde , , , , ... são funções de . Se , a EDO é dita linear e homogênea. Se os coeficientes forem constantes, dsolve é capaz de achar a solução geral da equação homogênea. Por exemplo a EDO 

>

(1.2.2.1)

 

tem a seguinte solução geral 

>

(1.2.2.2)

 

O índice do somatório acima é assume os valores das raízes de um polinômio de quarta ordem. Para se obter o resultado explícito, é necessário dar o comando _EnvExplicit:=true (veja solve ). Para EDO's de ordem acima de 4, não é mais possível expandir o somatório que aparece na solução. Se a equação não for homogênea, a solução geral é a solução da parte homogênea mais uma solução particular. Se os coeficientes dependem de , a EDO não pode ser integrada de forma genérica (veja linear_ODEs para mais detalhes). 

Uma ODE é dita missing se ela tem uma das formas 

ou 

No primeiro caso falta a variável e na segunda . EDO's de ordem do tipo missing podem sempre ser reduzidas para uma EDO de ordem . Isso não garante a solução completa a menos que a EDO reduzida possa ser resolvida. A ordem de uma EDO faltando a variável (primeiro tipo) pode ser reduzida pela substituição . Se a EDO puder ser resolvida para , a solução final é obtida por uma integração simples. Uma EDO sem apresentar a variável explicitamente requer uma técnica um pouco mais rebuscada. Para reduzir a ordem a substituição deve ser . Note que a nova variável deve ser vista como função de . Usando a regra da cadeia podemos ver que a substituição para deve ser . Note a redução de uma ordem na derivada. O mesmo vale para as outras ordens. A EDO transformada é resolvida considerando como variável independente. 

Por exemplo, considere a EDO de segunda ordem do tipo missing (sem e sem ) completamente geral. 

>

(1.2.2.3)

 

Observe que a classificação indica que a EDO não tem explicitamente as variáveis e . 

>

(1.2.2.4)

 

Essa EDO pode ser completamente integrada. 

>

(1.2.2.5)

 

Vejamos um exemplo mais concreto. 

>

(1.2.2.6)

 

Essa EDO não tem a variável aparecendo explicitamente. 

>

(1.2.2.7)

 

Para obter informações sobre o método de solução 

>

(1.2.2.8)

 

>

 

Methods for second order ODEs:

 

 

 

--- Trying classification methods --- trying 2nd order Liouville trying 2nd order WeierstrassP trying 2nd order JacobiSN differential order: 2; trying a linearization to 3rd order trying 2nd order ODE linearizable_by_differentiation trying 2nd order, 2 integrating factors of the form mu(x,y) trying differential order: 2; missing variables -> Computing symmetries using: way = 3 -> Calling odsolve with the ODE (diff(_b(_a) _a))*_b(_a)-_a^5 = 0 _b(_a) HINT = [[_a 3*_b]]   *** Sublevel 2 ***   symmetry methods on request 1st order, trying reduction of order with given symmetries:
1st order, trying the canonical coordinates of the invariance group      -> Calling odsolve with the ODE diff(y(x) x) = 3*y(x)/x y(x)         *** Sublevel 3 ***         Methods for first order ODEs:         --- Trying classification methods ---         trying a quadrature         trying 1st order linear         <- 1st order linear successful   <- 1st order, canonical coordinates successful <- differential order: 2; canonical coordinates successful <- differential order 2; missing variables successful
	(1.2.2.9)

 

>

(1.2.2.10)

 

Podemos tecer várias observações: 

1. O comando infolevel[dsolve] := 2;  permite que o usuário acompanhe o método usado no processo de integração da EDO. No caso acima, o método missing variables reduz a EDO de segunda ordem para uma EDO de primeira ordem. Esta última é resolvida pelo método de Bernoulli. 

2. O comando dsolve retorna uma sequência de soluções. 

3. As soluções estão na forma implícita. 

4. As integrais estão na forma inert do comando intat (observe que a integral só tem o limite superior). 

Podemos obter uma solução explícita se . O comando value é necessário para avaliar a integral inerte. 

>

(1.2.2.11)

 

Podemos confirmar a primeira solução. 

>

(1.2.2.12)

 

Muitas EDO's, cuja soluções são dadas por funções não elementares, também estão classificadas. Por exemplo, as funções de Bessel J e Y obedecem a seguinte EDO 

>

(1.2.2.13)

 

>

 

<- No Liouvillian solutions exists
	(1.2.2.14)

 

A classificação é  

>

(1.2.2.15)

 

A solução de uma ODE não é necessarimente a função correspondente a classificação. A ODE  

>

(1.2.2.16)

 

é classificada como 

>

(1.2.2.17)

 

A classificação nos diz que a ODE é da forma obedecida pela função erro e correlatas porém a solução é dada em termos das funções de Whittaker  

>

 

<- No Liouvillian solutions exists
	(1.2.2.18)

 

Podemos verificar que as integrais iteradas da função erro complementar é solução dessa ODE através do comando odetest. 

>

(1.2.2.19)

 

A função erro erf é definida pela integral 

e a função erro complementar é definida por . As integrais iteradas da função erro é definida recursivamente por 

onde . 

Uma EDO é dita exata ( exact_linear , exact_nonlinear , exact order 1 ) se 

. 

Se for uma função linear em todos os argumentos então a EDO também é linear. É fácil de ver que EDO's desse tipo podem sempre ser reduzidas de uma ordem. Por exemplo, a EDO 

>

(1.2.2.20)

 

é exata, como podemos confirmar com o comando odeadvisor. 

>

(1.2.2.21)

 

Ela pode ser reduzida para uma EDO de primeira ordem 

>

(1.2.2.22)

 

que é dada por explicitamente por 

>

(1.2.2.23)

 

A EDO reduzida é do tipo patterns  

>

(1.2.2.24)

 

porém não pode ser resolvida pelo comando dsolve para arbitrário. 

Comandos para manipulação de EDOs 

Os principais comando de manipulação são: 

DEnormal ,     autonomous ,    convertAlg ,   convertsys ,
indicialeq ,   reduceOrder ,   regularsp ,   translate ,  
  untranslate , varparam .                                

O comando reduceOrder reduz a ordem da EDO uma vez conhecida uma ou mais soluções particulares para ela. A sintaxe é 

Por exemplo, a EDO de terceira ordem 

>

>

(1.3.1.1)

 

tem como solução particular a função 

>

(1.3.1.2)

 

como podemos verificar com o comando odetest  

>

(1.3.1.3)

 

Podemos reduzir essa EDO para uma outra de segunda ordem 

>

(1.3.1.4)

 

cuja solução geral não inclui mais a função . 

O comando convertAlg converte um EDO linear em uma lista com 2 elementos. Se a EDO tem a forma 

então o resultado da aplicação do comando é 

. 

O comando convertsys converte uma EDO ou um sistema de EDO's de qualquer ordem para um sistema de EDO's de primeira ordem. 

Comandos para visualização 

Os principais comandos de visualização são: 

DEplot , DEplot3d , dfieldplot , phaseportrait .   

O comando DEplot faz o gráfico da solução de uma EDO de qualquer ordem ou faz o gráfico direcional de um sistema de duas EDO's de primeira ordem. A sintaxe para uma EDO é 

    DEplot(EDO, , , CI's, , opções) 

e para um sistema de duas EDO's é  

     DEplot({EDO1, EDO2}, {},  , CI's, , , opções) 

onde CI's são as condições iniciais nas forma de lista de listas (veja exemplos abaixo). Considere a seguinte EDO de segunda ordem que não pode ser resolvida com o comando dsolve . 

>

(1.3.2.1)

 

Considere as condições iniciais 

>

(1.3.2.2)

 

O gráfico da solução para no intervalo é 

>

 

Warning, plot may be incomplete, the following errors(s) were issued:

 

cannot evaluate the solution further right of 1.5707963, probably a singularity

 

O sistema de EDO's  

>

(1.3.2.3)

 

com as condições iniciais 

>

(1.3.2.4)

 

tem o sequinte gráfico de direções com a curva que obedece as condições iniciais em destaque. 

>

 

O mesmo gráfico pode ser obtido com o comando phaseportrait ou com o comando dfieldplot , porém este último sem usar condições iniciais. Os comandos equivalentes que geram o gráfico acima é 

O gráfico tri-dimensional da curva em destaque do comando acima pode ser feito com o comando DEplot3d . A opção especifica a ordem dos eixos no gráfico. 

>

;

 

Outros comandos que retornam soluções de EDOs 

Exite uma série de comandos que resolvem EDO's de tipos particulares.  A maioria desses métodos está implementada no comando dsolve porém as soluções retornadas pelo dsolve não são totalmente equivalentes às soluções retornadas por esses comandos particulares, principalmente com relação a forma das soluções e com relação a soluções especiais de EDO's não lineares. A lista desses comando é 

RiemannPsols ,    abelsol ,    bernoullisol , chinisol ,      clairautsol ,   
constcoeffsols , eulersols , exactsol ,      expsols ,       genhomosol ,    
kovacicsols ,     liesol ,     linearsol ,     matrixDE ,      parametricsol ,
polysols ,        ratsols ,    riccatisol ,    separablesol .                 

As EDO's de Riccati tem a forma 

onde são funções de . A EDO  

>

(1.3.3.1)

 

é do tipo Riccati, portanto pode ser resolvida pelo comando   riccatisol . 

>

(1.3.3.2)

 

Compare agora com a solução obtida com o comando dsolve . 

>

(1.3.3.3)

 

A solução especial não foi dada explicitamente pelo comando dsolve , porém ela pode ser obtida tomando o limite quando vai a . 

O comando   matrixDE acha a solução de um sistema de EDO's lineares da forma  

onde e são matrizes. Por exemplo, o sistema de EDO's pode ser resolvido da seguinte forma. 

>

(1.3.3.4)

 

>

 

A Liouvillian solution exists
	(1.3.3.5)

 

Exercício 

Tente encontrar a solução exata da equação diferencial acima. Verique que a solução procurada é  

Lei de Malthus 

A lei de Malthus prevê um crescimento exponencial da população como consequência da seguinte hipótese: a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população. Se denota o tamanho da população no instante , a modelagem matemática do hipótese de Malthus é: 

>

>

(1.6.1.1)

 

onde é uma constante positiva. Vamos analisar um caso particular de população, cujos indivíduos são bactérias. No início , vamos supor que há apenas uma bactéria. Portanto, a condição inicial do problema é 

>

(1.6.1.2)

 

A solução da EDO é 

>

(1.6.1.3)

 

>

(1.6.1.4)

 

A constante é a taxa de crescimento relativa (tx de crescimento dividida pelo tamanho da população). Vamos supor que a população aumentou 1 indivíduo após a primeira unidade de tempo (de para ): 

>

(1.6.1.5)

 

O gráfico da solução é 

>

 

 

Equação Logística 

 

Se a quantidade de recursos disponíveis do meio ambiente diminuir, não é esperado um crescimento exponencial permanente. Vamos supor que o meio ambiente suporta no máximo indivíduos. A hipótese sobre a taxa de crescimento deve mudar. Vamos supor que a taxa de crescimento tem um fator multiplicativo que inicialmente é 1 e diminui quando a população aumenta, tendendo a zero quando a população aproxima do valor máximo : 

>

>

>

(1.6.2.1)

 

A condição inicial é 

>

(1.6.2.2)

 

A solução da EDO é 

>

(1.6.2.3)

 

>

(1.6.2.4)

 

Vamos supor que o número máximo de bactérias é 

>

(1.6.2.5)

 

Vamos supor que a população aumentou 1 indivíduo após a primeira unidade de tempo (de para ): 

>

(1.6.2.6)

 

O gráfico da solução, com uma apresentação melhorada, é 

>

 

 

Exercício 1. A equação logística tem que ordem? É linear ou não-linear?  

 

Exercício 2. Refaça a análise desta seção usando a equação de Gompertz:   onde e são números positivos. 

 

Exemplo 2 - Mistura de soluções salinas 

Ref. D. G. Zill, Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem 

 

Um tanque - EDO de primeira ordem 

 

Suponha que um tanque de 300 litros tem água salgada inicialmente na concentração de 250 gramas por litro. O limite máximo de concentração de sal na água à temperatura ambiente é cerca de 357 gramas por litro. Suponha que esteja sendo bombeada água salgada com a concentração de 120 gramas por litro a uma taxa de 2 litros por minuto para dentro do tanque sendo imediatamente misturada com a água que já está no tanque e, ao mesmo tempo, o tanque também tem um outro tubo que escoa água para fora na taxa de 2 litros por minuto. O volume de água no tanque permanece constante. Qual é a quantidade de sal em kilos no tanque? 

 

Vamos denotar a quantidade de sal na água do tanque em kilos por e vamos usar minuto como unidade de tempo.  A equação diferencial que descreve o comportamento de é 

>

>

>

(1.7.1.1)

 

onde é a taxa de entrada de sal e é a taxa de saída de sal. A taxa é constante e é dada pelo produto da vazão (2 litros/min) pela concentração de sal (0.12 kg/litro), isto é 

>

(1.7.1.2)

 

A taxa de saída do sal não é constante, pois a concentração de sal na água do tanque varia com o tempo. A taxa é o produto da taxa de saída da água (2 litros/min) pela concentração de sal no instante , que é dado por dividido pelo volume de água no tanque. 

>

(1.7.1.3)

 

>

(1.7.1.4)

 

No início, a concentração de sal é 0.25 kilo/litro, portanto a condição inicial do problema é 

>

(1.7.1.5)

 

A solução da EDO é 

>

(1.7.1.6)

 

O gráfico da solução é 

>

>

>

 

A quantidade de sal final () no tanque é 

>

(1.7.1.7)

 

Vamos fazer o gráfico conjunto com o valor final da quantidade de sal e melhorar a apresentação. 

>

 

 

Exercício 1. No exemplo acima, a taxa de saída de água é igual a taxa de entrada. Refaça o problema supondo que a taxa de saída é de 2.5 litros por minuto. Encontre também o instante que o tanque fica totalmente vazio. 

 

 

Dois tanques - sistema da EDOs de primeira ordem 

 

Considere dois tanques com a capacidade de 300 litros. O primeiro (tanque A) tem água salgada inicialmente na concentração de 250 gramas por litro e o segundo (tanque B) água pura.  

 

 

 

Os tanques estão interconectados e a vazão em cada tubo é 

 

litros/min (de água pura entrando em A) 

litros/min (de B para A) 

litros/min (de A para B) 

litros/min (saindo de B) 

 

Qual é a quantidade de sal em kilos em cada tanque? 

 

Vamos denotar a quantidade de sal na água do tanque A em kilos por e no tanque B por . Vamos usar minuto como unidade de tempo.  A equação diferencial que descreve o comportamento de é 

>

>

>

(1.7.2.1)

 

>

(1.7.2.2)

 

onde é a taxa de entrada de sal no tanque A e é a taxa de saída de sal do tanque A. A taxa de entrada em A é 

>

(1.7.2.3)

 

A taxa de saída de A é 

>

(1.7.2.4)

 

>

(1.7.2.5)

 

Analogamente 

>

(1.7.2.6)

 

No início, a concentração de sal é 0.25 kilo/litro no tanque A e nenhum sal no tanque B, portanto as condições iniciais do problema são 

>

(1.7.2.7)

 

A solução da EDO é 

>

(1.7.2.8)

 

>

>

 

	(1.7.2.9)

 

O gráfico da solução é 

>

 

 

Exercício 1. Encontre a quantidade de sal máxima no tanque B e em que instante isto ocorre. Confira os resultados com os valores obtidos no gráfico. 

Solução 

Método 1 

>

>

(1.7.2.1.1)

 

>

(1.7.2.1.2)

 

>

(1.7.2.1.3)

 

>

(1.7.2.1.4)

 

>

(1.7.2.1.5)

 

Método 2 

>

(1.7.2.1.6)

 

>

(1.7.2.1.7)

 

 

 

Exercício 2. No exemplo acima, a taxa de saída de água é igual a taxa de entrada. Refaça o problema supondo que a vazão seja 10 litros/min. Encontre também o instante no qual o tanque fica totalmente vazio. 

 

Exercício 3. Resolva o sistema de equações diferenciais do problema dos tanques A e B sem usar o comando do Maple para sistemas de equações diferenciais. Não é permitido usar o comando dsolve ou similares. 

Solução do exercício 3 

>

>

>

(1.7.2.2.1)

 

Equações auxiliares do processo de separação das variáveis e . 

>

>

 

	(1.7.2.2.2)

 

Geração das novas EDOs sem acoplamento. Note que obtemos EDOs de segunda ordem. 

>

>

 

	(1.7.2.2.3)

 

>

>

 

	(1.7.2.2.4)

 

Sem usar o comando dsolve, temos que proceder de outra maneira e usar o método de soluções de EDOs lineares de segunda ordem. Vamos resolver a EDO para e deixar como exercício a resolução de EDO para . 

>

(1.7.2.2.5)

 

Vamos converter a EDO em um polinômio onde representa o operador diferencial. Para reobter a equação temos que multiplicar por e interpretar cada atuação de em como a derivada de em relação a . 

>

(1.7.2.2.6)

 

Note que o termo constante deveria estar multiplicado pelo operador identidade. Vamos agora fatorar o polinômio, multiplicar cada fator por e igualar cada resultado a zero. 

>

(1.7.2.2.7)

 

>

>

 

	(1.7.2.2.8)

 

Podemos agora achar duas soluções particulares: 

>

>

 

	(1.7.2.2.9)

 

A solução geral é uma combinação linear destas soluções particulares. 

>

(1.7.2.2.10)

 

Podemos encontrar os valores de e usando as condições iniciais para . 

>

(1.7.2.2.11)

 

A solução final para é 

>

(1.7.2.2.12)

 

 

 

Exemplo 3 - Circuitos elétricos 

Ref. D. G. Zill, Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem 

 

Circuito com resistência e indutor 

De acordo com a teoria de circuitos elétricos, se uma bateria com voltagem é ligada em um circuito com um único resistor de resistência , a corrente elétrica no circuito pode ser encontrada usando a fórmula , onde é a corrente. Temos uma equação algébrica que pode ser resolvida facilmente. Se adicionarmos um indutor de indutância a este circuito, formando um circuito em série, a equação passa a ser , onde é uma função do tempo a ser determinada através da resolução da equação differencial linear de primeira ordem. 

 

Suponha que uma bateria de 12 volts (que nunca decresce de capacidade) é conectada a  uma circuito em série no qual a resistência é 10 ohms e a indutância é 1/2 henry. Determine a corrente elétrica se a corrente inical for nula. A unidade de é segundos. 

>

>

>

>

(1.8.1.1)

 

>

(1.8.1.2)

 

>

(1.8.1.3)

 

Um indutor normalmente é um solenoide em torno de um íma que resiste a mudança de corrente elétrica, porém não tem nenhuma ação caso a corrente seja constante. Na solução acima, podemos ver que a corrente começa no valor zero e tende ao valor constante quando vai para o infinito, pois o termo dependente do tempo decai exponencialmente rápido para zero. Note que em menos de 1 segundo a corrente quase se estabiliza, como podemos ver pelo gráfico da corrente (em amperes) versus tempo (em segundos). Isto é consequência do fato da indutância ser uma constante positiva. O termo dependente do tempo é chamado transiente e o termo constante (nesta solução) de estacionário. 

>

 

 

 

Circuito com resistência, indutor e capacitor (circuito RLC) 

De acordo com a teoria de circuitos elétricos, se uma bateria com voltagem é ligada em um circuito com um resistor de resistência , um indutor de indutância e um capacitor de capacitância , formando um circuito em série, a equação diferencial associada a este problema é  , onde é a corrente elétrica e é a carga elétrica do capacitor. Como , podemos derivar os dois lados da equação em função de para obter  , para obter uma equação differencial de segunda ordem. 

 

Suponha que uma bateria de 12 volts (que nunca decresce de capacidade) é conectada a  uma circuito LRC em série no qual a resistência é 50 ohms, a indutância é 1/2 henry e a capacitância é 1/1250 farads. Determine a corrente elétrica se a corrente inical for nula e a carga inicial no capacitor for 1/1000 coulumb. A unidade de é segundos. 

>

>

>

(1.8.2.1)

 

>

(1.8.2.2)

 

Uma vez que a EDO deste problema é de segunda ordem, devemos usar duas condições iniciais independentes. As condições iniciais são: corrente nula e e carga . A partir destes valores, podemos encontrar a derivada da corrente no instante usando a equação no instante t=0.  

>

(1.8.2.3)

 

A solução do problema é 

>

(1.8.2.4)

 

cujo gráfico é 

>

 

 

Exercício 1 Encontre a corrente máxima no circuito e em que instante isto ocorre. Confira os resultados com os valores obtidos no gráfico. 

 

Exercício 2 Encontre a carga no capacitor e faça o gráfico da carga em função do tempo. Qual é a carga máxima e quando o máximo é atingido? 

Respostas 

,   

 

Exercício 3 No exemplo acima a capacitancia obedece o vínculo . Faça um exemplo tal que , descreva quais são as principais diferenças e explique fisicamente os novos resultados. 

 

 

Exemplo 4 - Curva Tractrix 

A curva tractrix é gerada da seguinte forma. Suponha que uma bola está no ponto (4,0) sobre o eixo . Uma corda de comprimento 4 é amarrada na bola e a outra extremidade fica no ponto (0,0). Esta extremidade é puxada ao longo do eixo provocando o deslocamento da bola (com atrito no chão) como mostra a figura abaixo (clique na figura e aperte no play). A curva azul é a tractrix com parâmetro . 

 

 

 

A equação diferencial da Tractrix é 

>

>

>

(1.9.1)

 

cuja solução é 

>

(1.9.2)

 

Vamos definir uma função tanto da variável quanto do parâmetro : 

>

(1.9.3)

 

O gráfico mostra a curva (compare com a curva do modelo) 

>

 

Exercícios 

1. Considere as seguinte EDOs: , e  . 

a) , onde é uma constante, é solução de EDO1? 

b) , onde e são constantes, é solução de EDO2? 

c) é solução de EDO3? 

2. O objetivo deste exercício é encontrar uma ODE e as condições iniciais obedecendo às seguintes restrições: 

(a) Encontre uma ODE sem funções trigonométricas de primeira ordem com uma condição inicial cuja solução é . 

(b) Encontre uma ODE linear de primeira ordem com uma condição inicial cuja solução é . 

(c) Encontre uma ODE sem funções trigonométricas de segunda ordem com duas condições iniciais cuja solução é . 

(d) Encontre uma ODE linear de segunda ordem com duas condições iniciais cuja solução é . 

3. A equação diferencial de uma corrente suspensa presa nas extremidades é . 

(a) Encontre a solução da equação diferencial correspondente a corrente sob ação da gravidade presa nas extremidades (as extremidades têm a mesma altura ). 

(b) Faça o gráfico da solução para para uma corda de comprimento 1. 

(c) Encontre o valor de tal que a posição mínima da corda no eixo vertical é para uma corda de comprimento 1.